উত্তর
(3¹/²)⁶ = 3³ = 27।
লোড হচ্ছে…
লোড হচ্ছে…
বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা হলো বীজগণিতের এই অধ্যায়গুলো। সূচক ও লগারিদমের নিয়মাবলি ব্যবহার করে বিভিন্ন রাশির মান নির্ণয় এবং সমান্তর ও গুণোত্তর ধারার পদ ও সমষ্টি নির্ণয়ের সমস্যা প্রায়ই পরীক্ষায় আসে। এই বিষয়গুলোতে সুস্পষ্ট ধারণা ও দ্রুত সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অর্জন করা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য অপরিহার্য। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে এই প্রতিটি বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি, যা পরীক্ষার্থীদের একটি পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি নিতে সহায়তা করবে। কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।
উত্তর
(3¹/²)⁶ = 3³ = 27।
উত্তর
(2²)ˣ⁺¹ = 2⁵ => 2²ˣ⁺² = 2⁵ => 2x+2 = 5 => 2x = 3 => x = 3/2।
উত্তর
2³² ÷ 2¹ = 2³²⁻¹ = 2³¹।
উত্তর
(1/a + 1/b)⁻¹ = ((a+b)/ab)⁻¹ = ab/(a+b)।
উত্তর
2ˣ⁺⁷ = (2²)ˣ⁺² = 2²ˣ⁺⁴ => x+7 = 2x+4 => x = 3।
উত্তর
(3²)ˣ = 3⁻¹ => 2x = -1 => x = -1/2।
উত্তর
1।
উত্তর
(2/3)ˣ⁺² = (2/3)⁻(ˣ⁻³) = (2/3)⁻ˣ⁺³ => x+2 = -x+3 => 2x = 1 => x = 1/2।
উত্তর
4 × 4⁴ = 4⁵ = 1024।
উত্তর
a = cᶻ = (bʸ)ᶻ = bʸᶻ = (aˣ)ʸᶻ = aˣʸᶻ। সুতরাং xyz = 1।
উত্তর
(2⁵)²/⁵ = 2² = 4।
উত্তর
((3/4)³)⁻²/³ = (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9।
উত্তর
4 × 2ˣ = 2² × 2ˣ = 2ˣ⁺²।
উত্তর
xᵃ²⁻ᵇ² × xᵇ²⁻ᶜ² × xᶜ²⁻ᵃ² = x⁽ᵃ²⁻ᵇ²⁺ᵇ²⁻ᶜ²⁺ᶜ²⁻ᵃ²⁾ = x⁰ = 1।
উত্তর
5¹ × (5²)ˣ = (5³)ˣ⁺¹ => 1+2x = 3x+3 => x = -2।
উত্তর
(2⁴)⁷/⁴ = 2⁷ = 128।
উত্তর
3¹ × (3³)ˣ = (3²)ˣ⁺⁴ => 1+3x = 2x+8 => x = 7।
উত্তর
1/2 + 1/5 = (5+2)/10 = 7/10।
উত্তর
(10⁻²)³ = 10⁻⁶ = 0.000001।
উত্তর
(√2)⁶ = 2³ = 8 এবং (³√3)⁶ = 3² = 9। সুতরাং, ³√3 বড়।
উত্তর
log₂(2³) = 3 log₂2 = 3।
উত্তর
log₃(3⁻²) = -2 log₃3 = -2।
উত্তর
x⁻² = 1/16 => 1/x² = 1/4² => x = 4।
উত্তর
log₁₀(10⁻²) = -2।
উত্তর
x = 5³ = 125।
উত্তর
ধরি, (√2)ˣ = 16 => (2¹/²)ˣ = 2⁴ => x/2 = 4 => x = 8।
উত্তর
0।
উত্তর
log₂(log₅5⁴) = log₂(4 log₅5) = log₂4 = log₂2² = 2।
উত্তর
log₅(5¹/³ ⋅ 5¹/²) = log₅(5¹/³⁺¹/²) = log₅(5⁵/⁶) = 5/6।
উত্তর
x = 10⁻¹ = 1/10 = 0.1।
উত্তর
log₂(4×8) = log₂(32) = log₂(2⁵) = 5।
উত্তর
log₃(27/9) = log₃(3) = 1।
উত্তর
(log5/log3) × (log7/log5) × (log3/log7) = 1 (ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র অনুসারে)।
উত্তর
x⁴ = 324 = 18² = (√18)⁴। সুতরাং, x = √18 = 3√2।
উত্তর
(√3)ˣ = 81 => (3¹/²)ˣ = 3⁴ => x/2 = 4 => x = 8।
উত্তর
x² = 10⁴ => x = √10⁴ = 10² = 100।
উত্তর
1 (দশমিকের আগের অঙ্ক সংখ্যা - ১)।
উত্তর
-3 (বা 3̄)।
উত্তর
log₂x + (log₂x/log₂4) + (log₂x/log₂16) = 21/4 => log₂x + (log₂x)/2 + (log₂x)/4 = 21/4। সমাধান করে পাই, log₂x = 3, সুতরাং x = 2³ = 8।
উত্তর
সমষ্টি = n(n+1)/2 = 100(101)/2 = 5050।
উত্তর
a=5, d=3। a+(n-1)d = 383 => 5+(n-1)3=383 => (n-1)3=378 => n=127। সুতরাং, ১২৭-তম পদ।
উত্তর
S₁₀ = 10/2 {2×2 + (10-1)3} = 5{4 + 27} = 155।
উত্তর
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ) / 2 = (1+49)/2 = 25।
উত্তর
0 (এটি একটি প্রমাণিত সূত্র)।
উত্তর
এটি বিজোড় সংখ্যার ধারা। পদসংখ্যা n = (শেষপদ + ১)/২ = (21+1)/2 = 11। সমষ্টি = n² = 11² = 121।
উত্তর
(1-2)+(3-4)+...+(99-100) = (-1) এর ৫০টি পদের সমষ্টি = -50।
উত্তর
a+2d=7, a+6d=3। বিয়োগ করে পাই, 4d = -4 => d = -1।
উত্তর
ধারাটি: 12+15+...+99। পদসংখ্যা n=30। সমষ্টি = 30/2(12+99) = 15×111 = 1665।
উত্তর
S₂₀ = n/2(a+l) = 20/2(5+62) = 10×67 = 670।
উত্তর
n² = 20² = 400।
উত্তর
d = -5-2 = -7। ১২-তম পদ = 2+(12-1)(-7) = 2-77 = -75।
উত্তর
a+4d=18, 5/2(2a+4d)=75 => a+2d=15। সমাধান করে পাই, a = 6।
উত্তর
S₃₀ = 30/2 {2×7 + (30-1)5} = 15{14+145} = 2385।
উত্তর
a+5(10)=52 => a=2। ১২-তম পদ = 2+(11)10 = 112।
উত্তর
2(1+2+...+50) = 2 × (50×51/2) = 2550।
উত্তর
S₅ = 5(6)=30, S₄ = 4(5)=20। ৫ম পদ = S₅ - S₄ = 10।
উত্তর
T₂₀ = 10+(20-1)(-3) = 10-57 = -47।
উত্তর
মোট যোগফল = 1275। 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর যোগফল = 408। সুতরাং, নির্ণেয় যোগফল = 1275 - 408 = 867।
উত্তর
সংখ্যাগুলো ২, ৫, ৮।
উত্তর
a=2, r=2। ১০ম পদ = ar⁹ = 2 × 2⁹ = 2¹⁰ = 1024।
উত্তর
arⁿ⁻¹ = 1/2 => 128(1/2)ⁿ⁻¹ = 1/2 => (1/2)ⁿ⁻¹ = (1/2)⁸ => n=9। ৯ম পদ।
উত্তর
a=1, r=-1/2। S∞ = a/(1-r) = 1/(1-(-1/2)) = 1/(3/2) = 2/3।
উত্তর
ar²=20, ar⁵=160। ভাগ করে পাই, r³=8 => r=2। a(2)²=20 => a=5।
উত্তর
(x+2)² = x(x+6) => x²+4x+4 = x²+6x => 2x=4 => x=2।
উত্তর
a=1, r=1/3। S∞ = a/(1-r) = 1/(1-1/3) = 1/(2/3) = 3/2।
উত্তর
4 = 3/(1-r) => 4-4r=3 => 4r=1 => r=1/4।
উত্তর
√(4×9) = √36 = 6।
উত্তর
a=2, r=-2। S₇ = a(1-r⁷)/(1-r) = 2(1-(-128))/(1-(-2)) = 2(129)/3 = 86।
উত্তর
৪র্থ পদ ar³ = 16 => 2r³=16 => r=2। y হলো ৩য় পদ = ar² = 2×2² = 8।
উত্তর
পদ সংখ্যা বিজোড় হওয়ায় যোগফল হবে প্রথম পদ, অর্থাৎ 1।
উত্তর
গুণোত্তর ধারায়।
উত্তর
S∞ = 27/(1-1/3) = 27/(2/3) = 81/2।
উত্তর
S = (lr-a)/(r-1) => 889 = (448r-7)/(r-1) => 889r-889 = 448r-7 => r = 2।
উত্তর
S₅ = 3(3⁵-1)/(3-1) = 3/2(242) = 363।
উত্তর
এটি একটি সমান্তর ধারা (log2, 2log2, 3log2...)।
উত্তর
T₅ = ar⁴ = (1/5)(-5)⁴ = 125।
উত্তর
S∞ = (1/2)/(1-1/2) = 1।
উত্তর
অসীমতক সমষ্টি থাকার জন্য |r| < 1 হতে হবে।
উত্তর
মোট দূরত্ব = h(1+r)/(1-r) = 10(1+4/5)/(1-4/5) = 10(9/5)/(1/5) = 90 মিটার।
উত্তর
সমষ্টি = n(n+1)(2n+1)/6 = 10(11)(21)/6 = 385।
উত্তর
সমষ্টি = {n(n+1)/2}² = {10(11)/2}² = 55² = 3025।
উত্তর
n(n+1) = 10(11) = 110।
উত্তর
ধারা: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21। ৮ম পদ ২১।
উত্তর
২৫টি।
উত্তর
৩৮৫। (প্রশ্ন ৮১ এর অনুরূপ)
উত্তর
এটি সমান্তর ধারা (a=log2, d=log2)। S₁₀ = 10/2{2log2 + 9log2} = 5(11log2) = 55log2।
উত্তর
a=25, r=-1/5। S∞ = 25/(1-(-1/5)) = 25/(6/5) = 125/6।
উত্তর
সংখ্যাগুলো ১৫ দ্বারা বিভাজ্য। ধারা: 15+30+...+90। পদসংখ্যা ৬। সমষ্টি = 6/2(15+90) = 3×105=315।
উত্তর
পদগুলো: 3, 5, 7। যোগফল = 3+5+7 = 15।
উত্তর
12/99 = 4/33।
উত্তর
মাঝের সংখ্যা = 35/5=7। সংখ্যাগুলো: 5,6,7,8,9। বৃহত্তম সংখ্যা 9।
উত্তর
log(a²/bc × b²/ca × c²/ab) = log(a²b²c²/a²b²c²) = log(1) = 0।
উত্তর
3(1+2+3+...+n) = 165 => 1+2+...+n = 55 => n(n+1)/2 = 55 => n(n+1) = 110 => n=10।
উত্তর
2ˣ(1+2¹) = 48 => 2ˣ × 3 = 48 => 2ˣ = 16 => 2ˣ = 2⁴ => x = 4।
উত্তর
S = n/2(a+l) => 130 = n/2(2+50) => 130 = n/2(52) => 130 = 26n => n=5।
উত্তর
(5³)⅔ = 5² = 25।
উত্তর
27 = 5 + (n-1)2 => 22 = (n-1)2 => 11 = n-1 => n=12। ১২-তম পদ।
উত্তর
ধরি 8ˣ = 2 => (2³)ˣ = 2¹ => 3x=1 => x = 1/3।
উত্তর
{20(21)/2}² = 210² = 44100।
উত্তর
(2²)ˣ = 2³ => 2x = 3 => x = 3/2।