উত্তর
4xy = (x+y)² - (x-y)² = 12² - 2² = 144 - 4 = 140। সুতরাং, xy = 140/4 = 35।
লোড হচ্ছে…
লোড হচ্ছে…
বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা হলো বীজগণিত। এখানে বিভিন্ন সূত্র প্রয়োগ করে মান নির্ণয়, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, সমীকরণ ও অসমতার সমাধান ইত্যাদি বিষয় থেকে প্রশ্ন আসে। পাটিগণিতের চেয়ে বীজগণিতে সূত্রের প্রয়োগ বেশি এবং সমস্যা সমাধানের জন্য যৌক্তিক ধাপ অনুসরণ করতে হয়। এই বিষয়গুলোতে সুস্পষ্ট ধারণা ও দ্রুত সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অর্জন করা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য অপরিহার্য। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে বীজগণিতের প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি, যা পরীক্ষার্থীদের একটি পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি নিতে সহায়তা করবে।
উত্তর
4xy = (x+y)² - (x-y)² = 12² - 2² = 144 - 4 = 140। সুতরাং, xy = 140/4 = 35।
উত্তর
a² + 1/a² = (a - 1/a)² + 2 = 4² + 2 = 16 + 2 = 18।
উত্তর
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = 5³ - 3(5) = 125 - 15 = 110।
উত্তর
a² + b² = (a+b)² - 2ab = 8² - 2(15) = 64 - 30 = 34।
উত্তর
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) => 513 = 3³ + 3ab(3) => 513 = 27 + 9ab => 9ab = 486 => ab = 54।
উত্তর
x² + 1/x² = (x-1/x)² + 2 = 2² + 2 = 6। অতএব, x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² - 2 = 6² - 2 = 36 - 2 = 34।
উত্তর
4xy + x² - 2xy + y² = x² + 2xy + y² = (x+y)² = 6² = 36।
উত্তর
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) => 9² = 29+2(ab+bc+ca) => 81-29 = 2(ab+bc+ca) => 52 = 2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca = 26।
উত্তর
(a - 1/a)² = a² + 1/a² - 2 = 51 - 2 = 49। সুতরাং, a - 1/a = ±7।
উত্তর
ax + x² - 5a - 5x = x² + (a-5)x - 5a। প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, k = a-5 এবং 15 = 5a => a=3। সুতরাং, k = 3-5 = -2।
উত্তর
1/x = √3 - √2। x + 1/x = 2√3। x² + 1/x² = (x+1/x)² - 2 = (2√3)² - 2 = 12-2 = 10।
উত্তর
(m²+1/m²)² = m⁴+1/m⁴+2 = 119+2=121 => m²+1/m²=11। (m-1/m)² = m²-2+1/m² = 11-2=9। সুতরাং, m-1/m = ±3।
উত্তর
4ab = (√7)²-(√5)² = 2 => ab=1/2। 2(a²+b²)=(√7)²+(√5)²=12 => a²+b²=6। সুতরাং, 8ab(a²+b²) = 8(1/2)(6) = 24।
উত্তর
(x+y)² = x²+y²+2xy = 8+2(7) = 22।
উত্তর
3abc।
উত্তর
x² + 5x + 4x + 20 = x(x+5) + 4(x+5) = (x+4)(x+5)।
উত্তর
x(x² - 1) = x(x+1)(x-1)।
উত্তর
(a²+1)² - a² = (a²+1-a)(a²+1+a)।
উত্তর
(2a)³ + (3b)³ = (2a+3b)(4a²-6ab+9b²)।
উত্তর
x² - (y² - 2y + 1) = x² - (y-1)² = (x+y-1)(x-y+1)।
উত্তর
(2x)² - px + 3²। পূর্ণবর্গ হতে হলে, px = 2(2x)(3) = 12x। সুতরাং p = 12।
উত্তর
x = -1 বসালে রাশিটির মান 0 হয়, তাই (x+1) একটি উৎপাদক।
উত্তর
(x+1)(x+2)(x-3)।
উত্তর
x²-8x+16+y²-8y = (x-4)²+y(y-8)। (x-y-4)² করতে হলে 2xy যোগ করতে হবে।
উত্তর
(a+1)(a+2)(a+3)।
উত্তর
a² + 9a - 2a - 18 = a(a+9) - 2(a+9) = (a-2)(a+9)।
উত্তর
(2x²+1)² - 4x² = (2x²+1-2x)(2x²+1+2x)।
উত্তর
-(x²+2x-35) = -(x+7)(x-5) = (x+7)(5-x)।
উত্তর
1 - (a² - 2ab + b²) = 1 - (a-b)² = (1+a-b)(1-a+b)।
উত্তর
x²(x-y) - y²(x-y) = (x-y)(x²-y²) = (x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)²(x+y)।
উত্তর
সংখ্যাটি = (৩০১ + ৩৮১) / ২ = ৩৪১।
উত্তর
(x-3)(x-5) = 0। সুতরাং, x = 3, 5।
উত্তর
x + 3x = 70 => 4x = 70 => x = 17.5 বছর।
উত্তর
x + 1/x = 2 => x² - 2x + 1 = 0 => (x-1)² = 0 => x = 1।
উত্তর
b²-4ac = 0 => (-k)² - 4(9)(16) = 0 => k² = 576 => k = ±24।
উত্তর
2x + 3 = x + 7 => x = 4।
উত্তর
α²-3α-2=0 => 1 - 3/α - 2/α² = 0। এটি সঠিক পথ নয়। যদি α মূল হয়, তবে 1/x দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে, (1/x)²-3(1/x)-2=0 => 1-3x-2x²=0 বা 2x²+3x-1=0। এর মূল হবে 1/α।
উত্তর
3x * x = 300 => x² = 100 => x = 10। দৈর্ঘ্য ৩০, প্রস্থ ১০। পরিসীমা = ২(৩০+১০) = ৮০ মিটার।
উত্তর
যোগফল = -b/a = -(-1)/1 = 1। গুণফল = c/a = -12/1 = -12।
উত্তর
(3x+2x)/6 = 5 => 5x = 30 => x = 6।
উত্তর
(x+1)² - x² = 199 => 2x+1 = 199 => 2x=198 => x=99। বড় সংখ্যাটি ১০০।
উত্তর
√x = 3 => x = 3² = 9।
উত্তর
x² = 5x + 6 => x² - 5x - 6 = 0 => (x-6)(x+1)=0। ধনাত্মক সংখ্যাটি ৬।
উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করলে 4x = 6y+10 => 4x-6y = 10।
উত্তর
x/2 - x/3 = 17 => x/6 = 17 => x = 102।
উত্তর
x²-3x-10 = 0 => (x-5)(x+2) = 0। x=5 বা x=-2।
উত্তর
b²-4ac = (-3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49।
উত্তর
x = 4।
উত্তর
মধ্যম সংখ্যা = ৫৭/৩ = ১৯।
উত্তর
যোগ করে পাই 2/x = 6/6 = 1 => x = 2।
উত্তর
3x < 12 => x < 4।
উত্তর
-2x ≥ -4 => x ≤ 2 (ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে চিহ্ন পাল্টে যায়)।
উত্তর
-3 < x - 4 < 3 => 1 < x < 7।
উত্তর
2x + 1 > 5 অথবা 2x + 1 < -5। => x > 2 অথবা x < -3।
উত্তর
(x-3)(x-4) < 0। সুতরাং, 3 < x < 4।
উত্তর
-3 < x-1 < 3 => -2 < x < 4। পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো -1, 0, 1, 2, 3।
উত্তর
x/3 - x/4 ≤ 1 => x/12 ≤ 1 => x ≤ 12।
উত্তর
-4 ≤ 3x - 5 ≤ 4 => 1 ≤ 3x ≤ 9 => 1/3 ≤ x ≤ 3।
উত্তর
x > 3 অথবা x < -3।
উত্তর
x²-5x+6 ≤ 0 => (x-2)(x-3) ≤ 0। সুতরাং, 2 ≤ x ≤ 3।
উত্তর
এটি ভুল প্রশ্ন। x বিজোড় হলে, 2x জোড় এবং 2x+1 বিজোড়। 5x বিজোড়। x² বিজোড়, x²+2 বিজোড়। 2x² জোড়, 2x²+x বিজোড়। সঠিক প্রশ্ন হতে পারত, x বিজোড় হলে, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা? উত্তর হতো 2x, 4x, x-1 ইত্যাদি।
উত্তর
-1-3 < x-3 < 2-3 => -4 < x-3 < -1।
উত্তর
বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক, তাই (x-5)² < 0 অসম্ভব। শুধুমাত্র (x-5)²=0 সম্ভব। সুতরাং, x=5।
উত্তর
সমাধান করে দেখা যায় x>-3/4। যদি x=0 হয়, -1 < y < 2। অপশনগুলোর মধ্যে y=4 এবং y=-2 হতে পারে না। সাধারণত একটি অপশন থাকে।
উত্তর
x > 10 অথবা x < -10।
উত্তর
যোগ করে পাই 3x = 12 => x = 4। 4 - y = 2 => y = 2। সমাধান (4, 2)।
উত্তর
x+y=60, x-y=10। যোগ করে পাই 2x=70 => x=35। বড় সংখ্যাটি ৩৫।
উত্তর
5x+3y=51, 3x+2y=32। সমাধান করে পাই x=6, y=7। একটি কলম ও খাতার দাম = ৬+৭ = ১৩ টাকা।
উত্তর
x+y=7, (x+1)/y=1/2। সমাধান করে পাই x=2, y=5। ভগ্নাংশটি ২/৫।
উত্তর
প্রথম সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করে পাই 2x+4y=14। এটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে পাই y = 2।
উত্তর
(P-10)=4(S-10), (P+10)=2(S+10)। সমাধান করে পাই P=50 বছর।
উত্তর
4xy = a²-b² => 2xy = (a²-b²)/2।
উত্তর
a(2)-2(1)=4 => 2a-2=4 => 2a=6 => a=3।
উত্তর
x+y=9, 10y+x = 10x+y+27। সমাধান করে পাই x=3, y=6। সংখ্যাটি ৩৬।
উত্তর
y=2x+3। প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই 3x-7(2x+3)+10=0 => 3x-14x-21+10=0 => -11x=11 => x=-1। y=2(-1)+3=1। সমাধান (-1, 1)।
উত্তর
সমাধান করে পাই x=1।
উত্তর
x = y, x = 2(y-8)। সমাধান করে পাই x=16, y=16। মোট ৩২ জন।
উত্তর
প্রশ্নটি ভুল। ভাগ করলে ভাগফল ৫ হলে, (x+5)5/5 = 5 => x+5=5 => x=0।
উত্তর
সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। অসংখ্য সমাধান আছে।
উত্তর
3(y+400)+5y=7000 => 8y=5800 => y=725 টাকা।
উত্তর
x+5 = 3x+6 => 2x = -1 => x = -1/2।
উত্তর
x=-2 বসালে, (-2)³-(-2)²-10(-2)-8 = -8-4+20-8 = 0।
উত্তর
x²+y² = (x+y)²-2xy = 1²-2(1) = -1।
উত্তর
x+y=32(x-y) => 33y=31x। xy=336। সমাধান করে পাওয়া কঠিন। প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল।
উত্তর
xy(x²+y²)।
উত্তর
x=1। সুতরাং, 1¹⁰⁰+1/1¹⁰⁰ = 1+1=2।
উত্তর
α+2α = -(-16)/2 = 8 => α=8/3। α(2α) = m/2 => 2α²=m/2 => m=4α² = 4(8/3)² = 256/9।
উত্তর
বর্গ করে পাই x²-6x+9=x-1 => x²-7x+10=0 => (x-5)(x-2)=0। x=5 বা x=2। x=2 দ্বারা সমীকরণ সিদ্ধ হয় না, তাই উত্তর x=5।
উত্তর
x-3।
উত্তর
(4³)ˣ = (4⁴)ʸ => 3x=4y => x/y = 4/3।
উত্তর
a দ্বারা ভাগ করলে a-4+1/a=0 => a+1/a=4। a³+1/a³ = 4³ - 3(4) = 64-12=52।
উত্তর
x+7 টাকা।
উত্তর
x-y।
উত্তর
f(1) = 1-6+11-6 = 0।
উত্তর
যোগ করে 2a=3 => a=3/2। বিয়োগ করে 2b=-1 => b=-1/2। ab = -3/4।
উত্তর
(2-3)⁵ = (-1)⁵ = -1।
উত্তর
16।
উত্তর
4।
উত্তর
b²-4ac > 0।
উত্তর
x+y।
উত্তর
(2x-3)(x-1)।