উত্তর
পূরক কোণ।
লোড হচ্ছে…
লোড হচ্ছে…
বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা হলো জ্যামিতি ও পরিমিতি। জ্যামিতি অংশে বিভিন্ন আকারের গঠন, ধর্ম এবং তাদের মধ্যকার সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করা হয়, যেখানে উপপাদ্যের প্রয়োগ অপরিহার্য। অন্যদিকে, পরিমিতি অংশে বিভিন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করতে হয়। এই বিষয়গুলোতে সুস্পষ্ট ধারণা ও দ্রুত সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অর্জন করা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য অত্যন্ত জরুরি। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে জ্যামিতি ও পরিমিতির প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি।
যার একটি প্রান্তবিন্দু আছে, কিন্তু অন্য প্রান্ত অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
উদাহরণ: ৩০°, ৪৫°, ৬০°, ৮৯°।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
উদাহরণ: ৯১°, ১২০°, ১৭৯°।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
উদাহরণ: ২০০°, ৩০০°।
দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
উদাহরণ: ৩০°-এর পূরক কোণ ৬০°।
দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
উদাহরণ: ১২০°-এর সম্পূরক কোণ ৬০°।
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে বিপরীত দিকে যে কোণ উৎপন্ন হয়।
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পাশের কোণগুলোকে একান্তর কোণ বলে।
একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান।
দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে ছেদকের একই পাশের কোণগুলোকে অনুরূপ কোণ বলে।
অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান। বাহুভেদে:
তিনটি বাহু সমান, প্রতিটি কোণ ৬০°।
দুটি বাহু সমান, সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ দুটিও সমান।
কোনো বাহুই সমান নয়।
কোণভেদে:
তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
একটি কোণ সমকোণ।
একটি কোণ স্থূলকোণ।
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
(ক) বাহু-কোণ-বাহু, (খ) কোণ-বাহু-কোণ, (গ) বাহু-বাহু-বাহু, (ঘ) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু।
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
বিপরীত কোণগুলো সমান। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একটি সামান্তরিক যার প্রতিটি কোণ সমকোণ।
কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান ও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একটি আয়তক্ষেত্র যার চারটি বাহুই সমান।
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একটি সামান্তরিক যার চারটি বাহুই সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়।
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক। একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
উত্তর
পূরক কোণ।
উত্তর
৯০° - ৬০° = ৩০°।
উত্তর
সম্পূরক কোণ।
উত্তর
১৮০° - ১০০° = ৮০°।
উত্তর
পরস্পর সমান।
উত্তর
১৮০° বা এক সরলকোণ।
উত্তর
স্থূলকোণ।
উত্তর
একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উত্তর
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট।
উত্তর
x = (90-x)/2 => 2x = 90-x => 3x=90 => x=30°।
উত্তর
x = 5(180-x) => 6x = 900 => x=150°।
উত্তর
৯০°।
উত্তর
২টি।
উত্তর
১৮০° বা দুই সমকোণ।
উত্তর
৬০°।
উত্তর
বৃহত্তর।
উত্তর
১৮০° - (৬০°+৭০°) = ৫০°।
উত্তর
অতিভুজ।
উত্তর
ভরকেন্দ্র।
উত্তর
(১৮০°-১০০°)/২ = ৪০° করে।
উত্তর
সকল ত্রিভুজের (এই রেখাকে অয়লার রেখা বলে)।
উত্তর
∠BAC = ∠ACD - ∠ABC = 105° - 70° = 35°।
উত্তর
যেকোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা সমান হয় (যেমন: ২, ৩, ৫ বা ২, ৩, ৬)।
উত্তর
একটি।
উত্তর
মোট ভাগ = ১০। বৃহত্তম কোণ = (৫/১০) × ১৮০° = ৯০°।
উত্তর
৪৫° : ৪৫° : ৯০° বা ১:১:২।
উত্তর
৩৬০° বা চার সমকোণ।
উত্তর
সমান।
উত্তর
১৮০° - ১৩০° = ৫০°।
উত্তর
সমকোণে বা ৯০° কোণে।
উত্তর
সমান ও সমদ্বিখণ্ডিত।
উত্তর
সমকোণে।
উত্তর
ট্রাপিজিয়াম।
উত্তর
আয়তক্ষেত্র।
উত্তর
৩৬০° - (৭০°+৮০°+১২০°) = ৩৬০° - ২৭০° = ৯০°।
উত্তর
রম্বস।
উত্তর
লম্ব = √(১৩² - ১২²) = √(১৬৯ - ১৪৪) = √২৫ = ৫ সে.মি.।
উত্তর
কর্ণ = √(৮² + ৬²) = √(৬৪ + ৩৬) = √১০০ = ১০ মিটার।
উত্তর
কর্ণ = বাহু × √২ = ৫√২ সে.মি.।
উত্তর
বাহু = √((৬/২)² + (৮/২)²) = √(৩²+৪²) = √২৫ = ৫ সে.মি.।
উত্তর
উচ্চতা = (√৩/২) × বাহু = (√৩/২) × ২ = √৩ সে.মি.।
উত্তর
জ্যা-এর অর্ধেক = √(৫²-৩²) = ৪ সে.মি.। জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ৪×২ = ৮ সে.মি.।
উত্তর
উচ্চতা = √(২৬² - ১০²) = √(৬৭৬-১০০) = √৫৭৬ = ২৪ ফুট।
উত্তর
৯²+১২² = ৮১+১৪৪=২২৫ এবং ১৫²=২২৫। যেহেতু শর্ত মানে, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
উত্তর
ক্ষেত্রফল = (অতিভুজ)²/৪ = ১০²/৪ = ২৫ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)²/২ = (৪√২)²/২ = ৩২/২ = ১৬ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
৯০° বা এক সমকোণ।
উত্তর
দ্বিগুণ।
উত্তর
সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উত্তর
ব্যাস।
উত্তর
দুইটি।
উত্তর
১৪০°/২ = ৭০°।
উত্তর
১৮০°-৬৫° = ১১৫°।
উত্তর
সমরেখ থাকে।
উত্তর
সমদূরবর্তী।
উত্তর
পাই (π)।
উত্তর
১ বার ঘুরলে ৩৬০°। ১ সেকেন্ডে ১ বার ঘুরে। সুতরাং ৩৬০° ঘুরবে।
উত্তর
(√৩/৪)a²।
উত্তর
(১/২) × ৬ × ৪ = ১২ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
2x * x = 50 => x²=25 => x=5। দৈর্ঘ্য = ২×৫ = ১০ মিটার।
উত্তর
বাহু = ৩৬/৪ = ৯ মিটার। ক্ষেত্রফল = ৯² = ৮১ বর্গমিটার।
উত্তর
পরিধি = 2πr এবং ক্ষেত্রফল = πr²।
উত্তর
৯ গুণ (ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক)।
উত্তর
উচ্চতা = √(১০²-৮²) = ৬ মিটার। ক্ষেত্রফল = (১/২)×১৬×৬ = ৪৮ বর্গমিটার।
উত্তর
ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = (১/২) × ১০ × ১২ = ৬০ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা = (১/২) × (৮+১২) × ৬ = ৬০ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
πr² = ১৬π => r=৪ মিটার। পরিধি = ২πr = ৮π মিটার।
উত্তর
অর্ধেক।
উত্তর
বাগানসহ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১২০০ ব.মি.। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪০-৪)(৩০-৪) = ৩৬×২৬=৯৩৬ ব.মি.। রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১২০০ - ৯৩৬ = ২৬৪ ব.মি.।
উত্তর
এটি সমকোণী ত্রিভুজ। ক্ষেত্রফল = (১/২)×৫×১২ = ৩০ বর্গ সে.মি.।
উত্তর
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫৫, ছোটটির ৫০। ক্ষেত্রফল = π(৫৫² - ৫০²) = π(১০৫)(৫) = ৫২৫π বর্গমিটার।
উত্তর
(২n-৪)×৯০° = (১২-৪)×৯০° = ৭২০°।
উত্তর
{(২×৫-৪)×৯০°}/৫ = ৫৪০°/৫ = ১০৮°।
উত্তর
১৬ গুণ।
উত্তর
১৯%।
উত্তর
৪% হ্রাস পাবে।
উত্তর
২πr=২২ => r=৩৫/১১। ক্ষেত্রফল = π(৩৫/১১)² = ৩৮.৫ বর্গমিটার (π=২২/৭ ধরে)।
উত্তর
a³।
উত্তর
৩³ = ২৭ ঘন সে.মি.।
উত্তর
৫ × ৪ × ৩ = ৬০ ঘন সে.মি.।
উত্তর
আয়তন = (৪/৩)πr³, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²।
উত্তর
(৪/৩)π(৩)³ = ৩৬π ঘন সে.মি.।
উত্তর
আয়তন = ২৪ ঘনমিটার। ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার। সুতরাং, ২৪০০০ লিটার।
উত্তর
আয়তন = πr²h = (২২/৭)×৭²×১০ = ১৫৪০ ঘন সে.মি.।
উত্তর
৬a² = ২৪ => a²=৪ => a=২। আয়তন = ২³ = ৮ ঘনমিটার।
উত্তর
√(a² + b² + c²)।
উত্তর
4πr² = ১০০π => r²=২৫ => r=৫ সে.মি.।
উত্তর
2πrh=100, πr²h=150। ভাগ করে পাই r/2 = 150/100 => r = 3 সে.মি.।
উত্তর
কর্ণের সূত্র a√3। a√3=4√3 => a=4। আয়তন = 4³ = 64 ঘন সে.মি.।
উত্তর
√(৩²+৪²) = ৫।
উত্তর
৬০×৪০×৩ = ৭২০০ ঘনমিটার।
উত্তর
(৪/৩)πr³ = 4πr² => r/3 = 1 => r = 3 একক।
উত্তর
৪ সে.মি.।