জ্যামিতি ও পরিমিতি

বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা হলো জ্যামিতি ও পরিমিতি। জ্যামিতি অংশে বিভিন্ন আকারের গঠন, ধর্ম এবং তাদের মধ্যকার সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করা হয়, যেখানে উপপাদ্যের প্রয়োগ অপরিহার্য। অন্যদিকে, পরিমিতি অংশে বিভিন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করতে হয়। এই বিষয়গুলোতে সুস্পষ্ট ধারণা ও দ্রুত সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অর্জন করা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য অত্যন্ত জরুরি। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে জ্যামিতি ও পরিমিতির প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি। রশ্মি (Ray): যার একটি প্রান্তবিন্দু আছে, কিন্তু অন্য প্রান্ত অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত। সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle): ০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণ। উদাহরণ: ৩০°, ৪৫°, ৬০°, ৮৯°। স্থূলকোণ (Obtuse Angle): ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণ। উদাহরণ: ৯১°, ১২০°, ১৭৯°। প্রবৃদ্ধকোণ (Reflex Angle): ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণ। উদাহরণ: ২০০°, ৩০০°। পূরক কোণ (Complementary Angle): দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। উদাহরণ: ৩০°-এর পূরক কোণ ৬০°। সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle): দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। উদাহরণ: ১২০°-এর সম্পূরক কোণ ৬০°। বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle): দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে বিপরীত দিকে যে কোণ উৎপন্ন হয়। বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান। একান্তর কোণ (Alternate Angle): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পাশের কোণগুলোকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান। অনুরূপ কোণ (Corresponding Angle): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে ছেদকের একই পাশের কোণগুলোকে অনুরূপ কোণ বলে। অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান। বাহুভেদে: সমবাহু (Equilateral): তিনটি বাহু সমান, প্রতিটি কোণ ৬০°। সমদ্বিবাহু (Isosceles): দুটি বাহু সমান, সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ দুটিও সমান। বিষমবাহু (Scalene): কোনো বাহুই সমান নয়। কোণভেদে: সূক্ষ্মকোণী (Acute-angled): তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ। সমকোণী (Right-angled): একটি কোণ সমকোণ। স্থূলকোণী (Obtuse-angled): একটি কোণ স্থূলকোণ। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: (ক) বাহু-কোণ-বাহু, (খ) কোণ-বাহু-কোণ, (গ) বাহু-বাহু-বাহু, (ঘ) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু। সামান্তরিক (Parallelogram): বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। বিপরীত কোণগুলো সমান। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। আয়তক্ষেত্র (Rectangle): একটি সামান্তরিক যার প্রতিটি কোণ সমকোণ। কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান ও সমদ্বিখণ্ডিত করে। বর্গ (Square): একটি আয়তক্ষেত্র যার চারটি বাহুই সমান। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বস (Rhombus): একটি সামান্তরিক যার চারটি বাহুই সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক। একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।