উত্তর
n(A) = 3। P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2³ = 8।
লোড হচ্ছে…
লোড হচ্ছে…
বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশে উচ্চতর গণিতের এই শাখাগুলো থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে। এই বিষয়গুলো তুলনামূলকভাবে নতুন এবং এখানে যৌক্তিক বিশ্লেষণের উপর বেশি জোর দেওয়া হয়। সেট তত্ত্বের মাধ্যমে বিভিন্ন উপাদানের সম্পর্ক নির্ণয়, বিন্যাস ও সমাবেশের মাধ্যমে সাজানো ও বাছাই করা এবং পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতার মাধ্যমে ডেটা বিশ্লেষণ ও ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করা হয়। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে এই প্রতিটি বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি, যা পরীক্ষার্থীদের একটি পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি নিতে সহায়তা করবে।
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়।
উদাহরণ: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}।
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না।
উদাহরণ: স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, ...}।
যে সেটের কোনো উপাদান নেই।
একে ∅ বা {} দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ: ১ ও ২ এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যার সেট।
যদি A সেটের সকল উপাদান B সেটেরও উপাদান হয়, তবে A কে B এর উপসেট বলে (A ⊆ B)।
উদাহরণ: A={1,2}, B={1,2,3} হলে, A, B এর উপসেট।
কোনো সেটের সকল উপসেট নিয়ে গঠিত সেটকে শক্তি সেট বলে।
A={a,b} হলে, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}। কোনো সেটের উপাদান n হলে, শক্তি সেটের উপাদান 2ⁿ হয়।
দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেট।
উদাহরণ: A={1,2}, B={2,3} হলে, A ∪ B = {1, 2, 3}।
দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেট।
উদাহরণ: A={1,2}, B={2,3} হলে, A ∩ B = {2}।
A \ B মানে A সেটের যে উপাদানগুলো B সেটে নেই।
উদাহরণ: A={1,2,3}, B={3,4,5} হলে, A \ B = {1, 2}।
সার্বিক সেট U থেকে A সেটের উপাদানগুলো বাদ দিলে যে সেট পাওয়া যায়।
A' = U \ A।
উদাহরণ: U={1,2,3,4,5}, A={1,3,5} হলে, A' = {2, 4}।
একটি পরীক্ষায় ৮০% ছাত্র গণিতে এবং ৭০% ছাত্র বাংলায় পাশ করল।
উভয় বিষয়ে পাশ করল ৬০%।
শুধু গণিতে পাশ = ৮০-৬০=২০%।
শুধু বাংলায় পাশ = ৭০-৬০=১০%। অন্তত এক বিষয়ে পাশ = ২০+১০+৬০=৯০%। উভয় বিষয়ে ফেল = ১০০-৯০=১০%।
উদাহরণ: যদি n(A)=4, n(B)=5 এবং n(A∩B)=2 হয়, তবে n(A∪B) কত? সমাধান: n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 4 + 5 - 2 = 7।
দুটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে।
A={1,2}, B={3,4} হলে A∩B = ∅।
উদাহরণ: ৩০ জন ছাত্রের মধ্যে ২০ জন ফুটবল এবং ১৫ জন ক্রিকেট খেলতে ভালোবাসে।
প্রত্যেকে অন্তত একটি খেলা পছন্দ করলে, কতজন উভয় খেলা পছন্দ করে? সমাধান: n(F∪C) = n(F) + n(C) - n(F∩C) => 30 = 20 + 15 - n(F∩C) => n(F∩C) = 5 জন। কতগুলো জিনিস থেকে কয়েকটি বা সবকটি একবারে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে। বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা: nPr = n! / (n-r)! n সংখ্যক জিনিসের মধ্যে p সংখ্যক এক প্রকার, q সংখ্যক আরেক প্রকার হলে, মোট বিন্যাস সংখ্যা: n! / (p!q!...)
উত্তর
n(A) = 3। P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2³ = 8।
উত্তর
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}। (A ∪ B)' = U \ (A ∪ B) = {6}।
উত্তর
n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B) = 30 + 20 - 42 = 8।
উত্তর
শুধু ফুটবল খেলে (১৮-৫)=১৩ জন। শুধু ক্রিকেট খেলে (১৪-৫)=৯ জন। মোট খেলে = ১৩+৯+৫=২৭ জন। খেলে না = ৩০-২৭=৩ জন।
উত্তর
2ⁿ - 1।
উত্তর
A={1,2,3,4,6,12}, B={3,6,9,12}। A ∩ B = {3, 6, 12}।
উত্তর
নিশ্ছেদ সেট (Disjoint Set)।
উত্তর
একটি (ফাঁকা সেট নিজেই)।
উত্তর
A' = U \ A = {3, 4}।
উত্তর
A।
উত্তর
B।
উত্তর
উভয় বিষয়ে পাশ = (৮০+৮৫)-১০০ = ৬৫ জন (৬৫%)।
উত্তর
{1, 2, 3}।
উত্তর
(৩৫+২৫)-৫০ = ১০ জন।
উত্তর
জর্জ ক্যান্টর।
উত্তর
৫টি ভিন্ন অক্ষর আছে। বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120।
উত্তর
মোট অক্ষর ৫টি, P=২টি। বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 120/2 = 60।
উত্তর
6 × 5 × 4 = 120।
উত্তর
n(n-1) = 30 = 6 × 5। সুতরাং, n = 6।
উত্তর
স্বরবর্ণ (E,U,A,I,O) ৫টি। এদেরকে ১টি অক্ষর ধরলে মোট অক্ষর (8-5+1)=4টি। এদের সাজানো যায় 4! উপায়ে। স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 5! উপায়ে। মোট বিন্যাস = 4! × 5! = 24 × 120 = 2880।
উত্তর
মোট বিন্যাস 4! = 24। ০ প্রথমে রেখে বিন্যাস 3! = 6। অর্থপূর্ণ সংখ্যা = 24 - 6 = 18।
উত্তর
(5-1)! = 4! = 24 উপায়ে।
উত্তর
স্বরবর্ণ (I,E,O), ব্যঞ্জনবর্ণ (D,R,C,T,R)। স্বরবর্ণ ৩টিকে ১টি ধরলে মোট অক্ষর ৬টি, যেখানে R আছে ২টি। এদের সাজানো যায় 6!/2! উপায়ে। স্বরবর্ণ ৩টিকে সাজানো যায় 3! উপায়ে। মোট বিন্যাস = (360) × 6 = 2160।
উত্তর
n! / (n-r)!।
উত্তর
মোট অক্ষর ৮টি, A=2, L=3। বিন্যাস = 8! / (2!3!) = 3360।
উত্তর
5P3 = 60।
উত্তর
6P4 = 360।
উত্তর
3⁵ = 243।
উত্তর
4! = 24।
উত্তর
1।
উত্তর
12C3 = (12×11×10)/(3×2×1) = 220।
উত্তর
7C3 × 6C2 = 35 × 15 = 525।
উত্তর
11C9 = 11C2 = (11×10)/2 = 55।
উত্তর
nC2 = 66 => n(n-1)/2 = 66 => n(n-1) = 132 => n=12।
উত্তর
মোট ত্রিভুজ = 10C3 - 4C3 = 120 - 4 = 116।
উত্তর
nC2 - n = 12C2 - 12 = 66 - 12 = 54।
উত্তর
অধিনায়ক নির্দিষ্ট, তাই বাকি 11 জন থেকে 10 জনকে বাছাই করতে হবে। 11C10 = 11।
উত্তর
100C98 = 100C2 = (100×99)/2 = 4950।
উত্তর
(n+1)Cr।
উত্তর
(8×7×6)/(3×2×1) = 56।
উত্তর
8C2 = (8×7)/2 = 28।
উত্তর
5C3 = 10।
উত্তর
পুরস্কার ভিন্ন হলে 15P3 = 2730। পুরস্কার একই হলে 15C3 = 455।
উত্তর
nC2 - n = 44 => n(n-3)/2 = 44 => n(n-3)=88 => n=11।
উত্তর
10C4 = 210।
উত্তর
গড় = (5+7+8+10+15) / 5 = 9।
উত্তর
সাজানো আছে। মাঝের পদ (৭+১)/২ = ৪র্থ পদ। মধ্যক = 14।
উত্তর
'3' সংখ্যাটি সর্বাধিক ৩ বার আছে। প্রচুরক = 3।
উত্তর
৪ জনের মোট বয়স = ২২×৪ = ৮৮ বছর। ৩ পুত্রের মোট বয়স = ১৮×৩ = ৫৪ বছর। পিতার বয়স = ৮৮-৫৪ = ৩৪ বছর।
উত্তর
২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯+২৩+২৯ = ১২৯।
উত্তর
মোট = ৩৩০। প্রথম ৫টির যোগফল ১২৫, শেষ ৫টির ১৪০। ৬ষ্ঠ সংখ্যা = ৩৩০ - (১২৫+১৪০) = ৬৫।
উত্তর
প্রচুরক (Mode)।
উত্তর
৩০।
উত্তর
সাজালে: ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১১। মধ্যক = (৭+৮)/২ = ৭.৫।
উত্তর
প্রচুরক ≈ 3(মধ্যমা) - 2(গড়) = 3(7) - 2(8) = 21-16 = 5 (আনুমানিক)।
উত্তর
সংখ্যাগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ৯। গড় = ৫।
উত্তর
সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান।
উত্তর
৩০ - ১০ = ২০।
উত্তর
আগের মোট বয়স ২৪০। নতুন মোট বয়স (১৩×১৯)=২৪৭। নতুন ছাত্রের বয়স ৭ বছর (এটি অসম্ভব, প্রশ্নটি ভুল)। যদি গড় ১ বছর বাড়ে, নতুন ছাত্রের বয়স হবে ৩৩ বছর।
উত্তর
নতুন গড় পূর্বের গড়ের চেয়ে ৫ কমে যাবে।
উত্তর
মোট ফলাফল {1,2,3,4,5,6}=৬টি। জোড় {2,4,6}=৩টি। সম্ভাব্যতা = ৩/৬ = ১/২।
উত্তর
মোট ফলাফল 2³=8টি। দুটি হেড {HHT,HTH,THH}=৩টি। সম্ভাব্যতা = ৩/৮।
উত্তর
মোট বল ৯টি। লাল বল ৫টি। সম্ভাব্যতা = ৫/৯।
উত্তর
মোট ফলাফল {HH,HT,TH,TT}=৪টি। অন্তত একটি টেল আছে {HT,TH,TT}=৩টি। সম্ভাব্যতা = ৩/৪।
উত্তর
মোট তাস ৫২টি। টেক্কা ৪টি। সম্ভাব্যতা = ৪/৫২ = ১/১৩।
উত্তর
P(6 and H) = P(6) × P(H) = (1/6) × (1/2) = 1/12।
উত্তর
১০/১০০ = ১/১০।
উত্তর
কাজটি না হওয়ার সম্ভাবনা = P(ক নয়) × P(খ নয়) = (১/৩)×(১/৫) = ১/১৫। কাজটি হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/১৫ = ১৪/১৫।
উত্তর
১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৮টি (২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯)। সম্ভাব্যতা = ৮/২০ = ২/৫।
উত্তর
মোট মার্বেল ২৪টি। সাদা ৮টি। সাদা হওয়ার সম্ভাবনা ৮/২৪ = ১/৩। সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৩ = ২/৩।
উত্তর
মোট ফলাফল ৩৬টি। অনুকূল ফলাফল {(1,1), (2,2), ..., (6,6)} = ৬টি। সম্ভাব্যতা = ৬/৩৬ = ১/৬।
উত্তর
অনুকূল ফলাফল {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = ৬টি। সম্ভাব্যতা = ৬/৩৬ = ১/৬।
উত্তর
0 ≤ P ≤ 1।
উত্তর
0।
উত্তর
অনুকূল ফলাফল {HT, TH, TT} = ৩টি। সম্ভাব্যতা = ৩/৪।
উত্তর
লাল রঙের রাজা ২টি (হরতন ও রুইতন)। সম্ভাব্যতা = ২/৫২ = ১/২৬।
উত্তর
মোট বল ৫টি। মোট উপায় = 5C2 = 10। দুটিই সাদা হওয়ার উপায় = 2C2 = 1। সম্ভাব্যতা = ১/১০।
উত্তর
লিপ ইয়ারে ৩৬৬ দিন = ৫২ সপ্তাহ + ২ দিন। বাকি ২ দিন (শনি, রবি), (রবি, সোম) হতে পারে। সম্ভাব্যতা = ২/৭।
উত্তর
৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা {৩, ৬} = ২টি। সম্ভাব্যতা = ২/৬ = ১/৩।
উত্তর
বাছাই করার উপায় 10C4 = 210। বৃত্তাকারে সাজানোর উপায় (4-1)! = 6। মোট উপায় = 210 × 6 = 1260।
উত্তর
3 × 2 = 6।
উত্তর
মোট বল ১৫টি। সবুজ ৭টি। সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা ৭/১৫। সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৭/১৫ = ৮/১৫।
উত্তর
৩ জনের মোট বয়স = ৩৭×৩ = ১১১। ২ জনের মোট বয়স = ৩৫×২ = ৭০। মাতার বয়স = ১১১-৭০ = ৪১ বছর।
উত্তর
8C2 = 28।
উত্তর
৭টি অক্ষর, S=3, C=2। বিন্যাস = 7! / (3!2!) = 420।
উত্তর
(১/২)⁴ = ১/১৬।
উত্তর
2⁴ = 16।
উত্তর
ধরি ছাত্র সংখ্যা n। 16n + 30 = 17(n+1) => 16n+30=17n+17 => n=13।
উত্তর
n!।
উত্তর
মোট বল ১৫টি। সাদা ৪টি। সম্ভাব্যতা = ৪/১৫।
উত্তর
10C2 × 8C2 = 45 × 28 = 1260।
উত্তর
৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ১৪টি। সম্ভাব্যতা = ১৪/১০০ = ৭/৫০।
উত্তর
{a, b, c}।
উত্তর
সমান্তর ধারার গড় ও মধ্যক সমান।
উত্তর
স্বরবর্ণ AA, ব্যঞ্জনবর্ণ DHK। (AA) কে ১টি ধরলে মোট অক্ষর ৪টি। সাজানো যায় 4! উপায়ে। A দুটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 2!/2!=1 উপায়ে। মোট বিন্যাস = 24।
উত্তর
n = 12+8 = 20।
উত্তর
1-p।
উত্তর
n(A) + n(B)।