উত্তর
১০টি (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯)।
লোড হচ্ছে…
লোড হচ্ছে…
বিসিএস পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি অংশের একটি বিশাল অংশ জুড়ে রয়েছে পাটিগণিত। দৈনন্দিন জীবনের হিসাব-নিকাশ থেকে শুরু করে জটিল ব্যবসায়িক বিশ্লেষণ পর্যন্ত এর প্রয়োগ বিস্তৃত। বাস্তব সংখ্যা, ল.সা.গু, গ.সা.গু, শতকরা, মুনাফা, অনুপাত এবং লাভ-ক্ষতির মতো বিষয়গুলোতে সুস্পষ্ট ধারণা ও দ্রুত সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অর্জন করা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য অপরিহার্য। এই পৃষ্ঠায় আমরা বিসিএস পরীক্ষার সিলেবাসের আলোকে পাটিগণিতের প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়কে সূত্র, নিয়ম এবং অসংখ্য উদাহরণসহ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি, যা পরীক্ষার্থীদের একটি পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি নিতে সহায়তা করবে।
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
উদাহরণ: 5 (5/1), -3, 2/3, 0.5 (1/2), 0.33... (1/3)।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও সসীম দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।
উদাহরণ: √2, √3, π (পাই), e।
পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা।
যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না।
উদাহরণ: ২ (একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা), ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ...।
যে সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়াও কমপক্ষে একটি গুণনীয়ক থাকে।
উদাহরণ: ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২, ...।
দুটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধুমাত্র ১ হলে।
উদাহরণ: (৮, ৯), (১৫, ১৬)।
উদাহরণ:
১২, ২৪, ৩৬ , ৪৮, ... ১৮ এর গুণিতক: ১৮, ৩৬ , ৫৪, ... সুতরাং, ল.সা.গু হলো ৩৬।
উদাহরণ:
১, ২, ৩, ৪, ৬ , ১২।
১, ২, ৩, ৬ , ৯, ১৮।
সুতরাং, গ.সা.গু হলো ৬। বৃদ্ধি ও হ্রাস:
উদাহরণ ১ (বৃদ্ধি): একটি বইয়ের দাম ১০০ টাকা।
নতুন দাম = ১০০ + (১০০ এর ২০%) = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা।
উদাহরণ ২ (হ্রাস): চিনির মূল্য ২৫% কমে যাওয়ায় খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ব্যবহার কী পরিমাণ বাড়াতে হবে? সমাধান: ব্যবহার বাড়াতে হবে = (হ্রাসের হার / (১০০ - হ্রাসের হার)) × ১০০% = (২৫ / (১০০-২৫)) × ১০০% = (২৫/৭৫) × ১০০% = ৩৩.৩৩%।
একজন ছাত্র ৫০০ নম্বরের মধ্যে ৩৫০ পেলে সে শতকরা কত নম্বর পেল? সমাধান: (৩৫০/৫০০) × ১০০% = ৭০%।
নির্দিষ্ট সময়ের জন্য ধার করা অর্থের উপর যে অতিরিক্ত অর্থ প্রদান করা হয়, তাকে মুনাফা বা সুদ বলে।
উদাহরণ: বার্ষিক ১০% হার মুনাফায় ৫০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা কত? সমাধান: I = ৫০০ × ৩ × (১০/১০০) = ১৫০ টাকা।
যখন নির্দিষ্ট সময় পর মূলধনের সাথে মুনাফা যোগ করে সেই মুনাফাসহ মূলধনের উপর পরবর্তী সময়ের জন্য মুনাফা হিসাব করা হয়।
উদাহরণ: বার্ষিক ১০% হার যৌগিক মুনাফায় ৫০০ টাকার ২ বছরের সবৃদ্ধিমূল কত? সমাধান: C = ৫০০ × (১ + ১০/১০০)² = ৫০০ × (১১/১০)² = ৫০০ × (১২১/১০০) = ৬০৫ টাকা।
যৌগিক মুনাফা = ৬০৫ - ৫০০ = ১০৫ টাকা। অনুপাত (Ratio) হলো দুটি সমজাতীয় রাশির একটির সাথে অপরটির তুলনা। সমানুপাত (Proportion) হলো চারটি রাশির মধ্যে একটি সম্পর্ক যেখানে প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান। সমানুপাত:
খ = গ:ঘ হয়, তবে ক, খ, গ, ঘ সমানুপাতী।
অর্থাৎ, ক/খ = গ/ঘ বা কঘ = খগ।
উত্তর
১০টি (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯)।
উত্তর
√2, √3, π ইত্যাদি (পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল)।
উত্তর
গ.সা.গু = গুণফল / ল.সা.গু = ১৫৩৬ / ৯৬ = ১৬।
উত্তর
২।
উত্তর
অপর সংখ্যা = (ল.সা.গু × গ.সা.গু) / একটি সংখ্যা = (৪৮ × ৪) / ১৬ = ১২।
উত্তর
৩, ৪, ৫ এর ল.সা.গু = ৬০। নির্ণেয় সংখ্যা = ৬০ + ২ = ৬২।
উত্তর
সংখ্যাগুলো হলো ২৭-৩=২৪, ৪০-৪=৩৬, ৬৫-৫=৬০। ২৪, ৩৬, ৬০ এর গ.সা.গু হলো ১২।
উত্তর
সংখ্যা দুটি ৫×৪=২০ এবং ৬×৪=২৪। ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু হলো ১২০।
উত্তর
√০.২ ≈ ০.৪৪৭ (এটি একটি অমূলদ সংখ্যা)।
উত্তর
(x+1)² - x² = 53 => 2x+1 = 53 => x=26। সংখ্যা দুটি ২৬ ও ২৭।
উত্তর
(x+1)² - x² = 199 => 2x+1 = 199 => x=99। বড় সংখ্যাটি ১০০।
উত্তর
হ্যাঁ, কারণ তাদের সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১।
উত্তর
২৫টি।
উত্তর
3x+x=8 => x=2। সংখ্যা দুটি ৬ ও ২। গুণফল ১২।
উত্তর
০.০০০০০১।
উত্তর
ব্যবহার কমাতে হবে = (বৃদ্ধির হার / (১০০ + বৃদ্ধির হার)) × ১০০% = (২৫ / ১২৫) × ১০০% = ২০%।
উত্তর
৩০০ × (১৫/১০০) = ৪৫ টাকা।
উত্তর
০.৬x - ৬০ = ৬০ => ০.৬x = ১২০ => x = ২০০।
উত্তর
(৭৪২ + ৮৩০) / ২ = ৭৮৬।
উত্তর
উভয় বিষয়ে পাস = (৭০+৮০) - (১০০-১০) = ৬০%। ৬০% = ৩০০ জন, সুতরাং ১০০% = ৫০০ জন।
উত্তর
১২% = ৬০০০ × (১২/১০০) = ৭২০ টাকা। ১ কুইন্টাল চালের বর্তমান মূল্য ৭২০ টাকা।
উত্তর
৪০%।
উত্তর
০.২৫x = ৭৫ => x = ৩০০।
উত্তর
মোট পরিবর্তন = (±x ±y ±xy/100)% = (+20 -20 - (20×20)/100)% = -৪%। অর্থাৎ ৪% হ্রাস।
উত্তর
১০৮% = ১৬২০ জন। ১০০% = (১৬২০/১০৮) × ১০০ = ১৫০০ জন।
উত্তর
(৩/৪) × ১০০% = ৭৫%।
উত্তর
(৪/৫) × ১০০% = ৮০%।
উত্তর
৫ ভাগ = ৪৫ জন, ১ ভাগ = ৯ জন। মোট শিক্ষার্থী = (৯+৫)×৯ = ১৪×৯ = ১২৬ জন।
উত্তর
কম = (৩৫/(১০০+৩৫)) × ১০০ ≈ ২৫.৯%।
উত্তর
(৭/১০০০) × ১০০% = ০.৭%।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = ৩৮০ + ২০ = ৪০০ টাকা। ক্ষতির হার = (২০/৪০০) × ১০০% = ৫%।
উত্তর
লাভ = ৬ টাকা। শতকরা লাভ = (৬/৫০) × ১০০% = ১২%।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = (বিক্রয়মূল্য × ১০০) / (১০০ - ক্ষতির হার) = (৬১২ × ১০০) / ৮৫ = ৭২০ টাকা।
উত্তর
লাভ = (ক্রয়কৃত সংখ্যা - বিক্রয়কৃত সংখ্যা) / বিক্রয়কৃত সংখ্যা = (৩-২)/২ × ১০০% = ৫০%।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = (২৫ × ১০০) / ১২৫ = ২০ টাকা।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = (৪৫ × ১০০) / ৯০ = ৫০ টাকা।
উত্তর
লাভ = (৬-৫)/৫ × ১০০% = ২০%।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = (২৭৫০ × ১০০) / ১২৫ = ২২০০ টাকা।
উত্তর
লাভ = (৪/৩ - ১) = ১/৩। শতকরা লাভ = (১/৩) × ১০০% = ৩৩.৩৩%।
উত্তর
লাভ = (১২-৮)/৮ × ১০০% = ৫০%।
উত্তর
ধার্য মূল্য = ১১০ / (১০০-২০) = ১১০/৮০ = ১.৩৭৫। অর্থাৎ ৩৭.৫% বেশি।
উত্তর
২ হালি ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা, বিক্রয়মূল্য ৫৬ টাকা। লাভ = ৬ টাকা। শতকরা লাভ = (৬/৫০)×১০০% = ১২%।
উত্তর
(৬-৫)/৫ × ১০০% = ২০%।
উত্তর
ক্রয়মূল্য ১০০ হলে বিক্রয়মূল্য ৮০। অনুপাত = ৮০:১০০ = ৪:৫।
উত্তর
ক্রয়মূল্য = (৭২০০×১০০)/৯০ = ৮০০০ টাকা। ১২% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৮০০০ × (১১২/১০০) = ৮৯৬০ টাকা।
উত্তর
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, I = Pnr => P = P × n × (১০/১০০) => n = ১০ বছর।
উত্তর
I = ৫০০ × ৩ × (১০/১০০) = ১৫০ টাকা।
উত্তর
C = ৫০০ × (১ + ১০/১০০)² = ৫০০ × (১.১)² = ৬০৫ টাকা।
উত্তর
সুদ = ২P। I = Pnr => 2P = P × 8 × r => r = ২/৮ = ০.২৫। অর্থাৎ ২৫%।
উত্তর
পার্থক্য = P(r)² = ২০০০ × (১০/১০০)² = ২০০০ × ০.০১ = ২০ টাকা।
উত্তর
I = P/5। I=Prn => P/5 = P×r×1 => r = ১/৫ = ২০%।
উত্তর
২ বছরের মুনাফা = ৫৪০ - ৪৮৪ = ৫৬ টাকা। ১ বছরের মুনাফা = ২৮ টাকা। ৩ বছরের মুনাফা = ৮৪ টাকা। আসল = ৪৮৪ - ৮৪ = ৪০০ টাকা।
উত্তর
(৫০০×৪×r) + (৬০০×৫×r) = ৫০০ => ২০০০r + ৩০০০r = ৫০০ => ৫০০০r = ৫০০ => r = ০.১ বা ১০%।
উত্তর
১২৫ = ৫০০ × n × (৫/১০০) => ১২৫ = ২৫n => n = ৫ বছর।
উত্তর
৫ বছরে সুদের হার কমে = (৭-৫)×৫ = ১০%। ১০% = ৭০ টাকা। মূলধন ১০০% = ৭০০ টাকা।
উত্তর
৪ বছরে সুদ = ৫×৪ = ২০%। সুদ-আসল = ১২০%। ১২০% = ৮২৬ টাকা। ১০০% = (৮২৬/১২০)×১০০ = ৬৮৮.৩৩ টাকা (প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল)। যদি ৮৪০ টাকা হত, উত্তর ৭০০ টাকা।
উত্তর
৪ বছরে সুদ = ৪.৫×৪ = ১৮%। সুদ-আসল = ১১৮%। ১১৮% = ৮২৬ টাকা। মূলধন = (৮২৬/১১৮)×১০০ = ৭০০ টাকা।
উত্তর
৪ বছরে সুদ = P। সুদ 2P হতে লাগবে ৪×২=৮ বছর।
উত্তর
P(1+r)² = 4P => (1+r)² = 4 => 1+r = 2 => r = 1 বা ১০০%।
উত্তর
৪৮ = ৮০০×n×(৬/১০০) => ৪৮ = ৪৮n => n = ১ বছর।
উত্তর
a:b = ৮:১২, b:c = ১২:১৫। সুতরাং a:b:c = ৮:১২:১৫।
উত্তর
কেরোসিন = ৪২ লি, পেট্রোল = ১৮ লি। (৪২)/(১৮+x) = ৩/৭ => ১২৬ = ৫৪+৩x => x = ২৪ লিটার।
উত্তর
প্রশ্নটি ভুল। মধ্য সমানুপাতী হবে √(৯×১৬)=১২। ৯, ১২, ১৬ সমানুপাতী।
উত্তর
(5x+2)/(8x+2) = 2/3 => x=2। সংখ্যা দুটি ১০ ও ১৬।
উত্তর
সোনা ১২ গ্রাম, তামা ৪ গ্রাম। (১২+x)/৪ = ৪/১ => ১২+x=১৬ => x=৪ গ্রাম।
উত্তর
(৭-৫) ভাগ = ৪০০ => ২ ভাগ = ৪০০ => ১ ভাগ = ২০০। খ এর বেতন = ৫×২০০ = ১০০০ টাকা।
উত্তর
মোট ভাগ = ৯। বৃহত্তম কোণ = (৪/৯)×১৮০° = ৮০°।
উত্তর
x + 2x(0.5) + 3x(0.25) = 6 => x+x+0.75x = 6 => 2.75x=6 (প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল)। যদি অনুপাত ১:২:৪ হয়, x+x+x=6 => x=2। সিকি = ৪×২=৮টি।
উত্তর
সংখ্যা দুটি ৮ ও ১২। যোগফল ২০।
উত্তর
৬/৮ = ১০/x => x = ৮০/৬ = ৪০/৩।
উত্তর
যোজন-বিয়োজন করে পাই (a+b)/(a-b)।
উত্তর
পানি:দুধ = ১:৫। মোট মিশ্রণ ৬। পানির পরিমাণ = (১/৬)×১০০% = ১৬.৬৭%।
উত্তর
√(৩×৯) = √২৭ = ৩√৩।
উত্তর
৪ ভাগ = ১২০, ১ ভাগ = ৩০। মোট শ্রমিক = ৯×৩০ = ২৭০ জন।
উত্তর
প্রথমজন = (২/১০)×৬৪০০ = ১২৮০ টাকা।
উত্তর
একসাথে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় (১/২০ + ১/৩০) = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ। সম্পূর্ণ পূর্ণ হতে সময় লাগবে ১২ মিনিট।
উত্তর
একত্রে ১ দিনে করে (১/১৫ + ১/১০) = ১/৬ অংশ। সময় লাগবে ৬ দিন।
উত্তর
মোট দূরত্ব = ৩৬০+২৪০ = ৬০০ মিটার। বেগ = ৬০×(৫/১৮) মি/সে। সময় = ৬০০ / (৬০×৫/১৮) = ৩৬ সেকেন্ড।
উত্তর
অনুকূলে সময় = ৪৫/১৫ = ৩ ঘণ্টা। প্রতিকূলে সময় = ৪৫/৫ = ৯ ঘণ্টা। মোট সময় = ১২ ঘণ্টা।
উত্তর
৮ দিনে কাজ হয় ৮ × (১/২০+১/৩০) = ৮×(১/১২)=২/৩ অংশ। বাকি কাজ ১/৩ অংশ। খ এর সময় লাগবে (১/৩)÷(১/৩০) = ১০ দিন।
উত্তর
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ) / ২ = (১+৪৯)/২ = ২৫।
উত্তর
মোট = ৩৩০। প্রথম ৫টির যোগফল ১২৫, শেষ ৫টির ২৮×৫=১৪০। ৬ষ্ঠ সংখ্যা = ৩৩০-(১২৫+১৪০) = ৬৫।
উত্তর
বর্তমানে মোট বয়স ৬০। ৬ বছর পর মোট বয়স ৭২। 5x+x=72 => x=12। ৬ বছর পর পিতার বয়স ৬০। বর্তমানে ৫৪ বছর।
উত্তর
৪৫/১০০ = ৯/২০।
উত্তর
x(x+25) = ৭৭০০। সমাধান করে পাই x=৭৫।
উত্তর
১৩ (১৩÷৩ শেষ ১, ১৩÷৫ শেষ ৩)।
উত্তর
(১০০ × ১০১) / ২ = ৫০৫০।
উত্তর
সন্তানদের মোট বয়স ১৮। পিতাসহ মোট বয়স ৫২। পিতার বয়স = ৫২ - ১৮ = ৩৪ বছর।
উত্তর
পাস করেছে ৯০ জন। পাসের হার = (৯০/১২০) × ১০০% = ৭৫%।
উত্তর
11x = x+132 => 10x=132 => x=13.2।
উত্তর
৩৬।
উত্তর
মোট = ৫১। নতুন মোট = ৩৬। বাদ দেওয়া সংখ্যা = ৫১-৩৬ = ১৫।
উত্তর
৩/৯ = ১/৩।
উত্তর
পানির উপরে আছে ১ - (১/২+১/৩) = ১/৬ অংশ। ১/৬ অংশ = ৬ মি, সম্পূর্ণ বাঁশ = ৩৬ মিটার।
উত্তর
x(1.5x) = 216 => x²=144 => x=12। দৈর্ঘ্য ১৮, প্রস্থ ১২। পরিসীমা = ২(১৮+১২) = ৬০ মিটার।
উত্তর
2x+3 = x+7 => x = 4।
উত্তর
১২ টাকা।
উত্তর
১।
উত্তর
(১০×২০)/৮ = ২৫ দিন।
উত্তর
n(n+1)(2n+1)/6 = 10(11)(21)/6 = 385।