• • •
গণিত প্রস্তুতি · শর্টকাট কুকবুক
গণিতের শর্টকাট টেকনিক ১৫টি অধ্যায়ের সব সূত্র — একটি Manual-এ
চাকরির পরীক্ষার গণিতে যেসব প্রশ্ন আসে — তার ৯৫% হাতে গোনা ৫০-৬০টা formula দিয়ে solve করা যায়। এই গাইডটি একটি "math cookbook" — প্রতিটি অধ্যায়ের সবগুলো shortcut, ব্যাখ্যা, worked example এবং মনে রাখার trick — সব এক জায়গায়। পরীক্ষার আগের রাতে এই একটাই পড়লে যথেষ্ট।
📅 প্রকাশিত: ২২ মে, ২০২৬ · ⏱ পড়ার সময়: ২০ মিনিট · ✍️ অরিয়ল টিম📊 কোথায় কাজে আসবে?
প্রাথমিক
২০ নম্বর
NTRCA
২৫ নম্বর
BCS
১৫ নম্বর
Bank Job
৩০+ নম্বর
📖 এই Manual কীভাবে ব্যবহার করবেন
- প্রথম পড়া: পুরো গাইড একবার পড়ে নিন (২০ মিনিট)
- অধ্যায়ভিত্তিক অনুশীলন: প্রতিদিন ১টি chapter, ১০টি problem solve
- Memory hack practice: প্রতিটি formula-র "কেন কাজ করে" বুঝুন
- রিভিশন: পরীক্ষার ১ সপ্তাহ আগে আবার পুরো manual পড়ুন
- পরীক্ষার রাত: শুধু "Quick Reference" boxes পড়ুন
📑 ১৫টি অধ্যায়
1. শতকরা (Percentage) 2. লাভ-ক্ষতি (Profit-Loss) 3. সরল সুদ (Simple Interest) 4. চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest) 5. অনুপাত-সমানুপাত 6. গড় (Average) 7. কাজ-সময় (Time & Work) 8. সময়-দূরত্ব-গতি 9. নৌকা-স্রোত (Boat-Stream) 10. ট্রেন (Train) 11. বয়স (Age) 12. লসাগু-গসাগু (LCM-HCF) 13. বীজগণিত (Algebra) 14. জ্যামিতি (Geometry) 15. সংখ্যা পদ্ধতিঅধ্যায় ০১
📊 শতকরা (Percentage)
প্রতি পরীক্ষায় ২-৩টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
🔑 মূল ধারণা
শতকরা মানে "প্রতি ১০০-তে কত"। ৫০% = ১০০-এ ৫০ = ১/২। শতকরার প্রতিটি অংক ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারলে অর্ধেক কাজ শেষ।
📋 অবশ্য মুখস্থ ভগ্নাংশ-শতকরা
| ৫০% = ১/২ | → অর্ধেক |
| ২৫% = ১/৪ | → চারের এক ভাগ |
| ২০% = ১/৫ | → পাঁচের এক ভাগ |
| ১২.৫% = ১/৮ | → আট ভাগের ১ |
| ১০% = ১/১০ | → দশের এক ভাগ |
| ৩৩.৩৩% = ১/৩ | → তিনের এক ভাগ |
| ৬৬.৬৬% = ২/৩ | → তিনের দুই ভাগ |
| ৭৫% = ৩/৪ | → চারের তিন ভাগ |
⚡ শর্টকাট সূত্র
📐 সূত্র ১: শতকরা থেকে সংখ্যা
x% of N = (x × N) ÷ 100
উদাহরণ: ৪৫০-এর ২০% = (২০ × ৪৫০) ÷ ১০০ = ৯০। বা শর্টকাট: ৪৫০ × ১/৫ = ৯০।
📐 সূত্র ২: কত শতাংশ?
x is what % of N → (x ÷ N) × 100
উদাহরণ: ৬০ হলো ২৪০-এর কত %? = (৬০ ÷ ২৪০) × ১০০ = ২৫%।
📐 সূত্র ৩: শতকরা বৃদ্ধি/হ্রাস
পরিবর্তন % = [(নতুন − পুরাতন) ÷ পুরাতন] × 100
উদাহরণ: বেতন ২০,০০০ থেকে ২৫,০০০ হলো। বৃদ্ধি কত %? = (৫০০০ ÷ ২০,০০০) × ১০০ = ২৫%।
📐 সূত্র ৪: পরপর দুটি বৃদ্ধি/হ্রাস (Successive)
Net % = a + b + (ab ÷ 100)
হ্রাসের ক্ষেত্রে negative নিন। উদাহরণ: কোনো জিনিস ২০% বাড়ার পর ১০% কমলে net = +20 + (-10) + (20×-10/100) = +20-10-2 = +8%।
📐 সূত্র ৫: ভ্যাট/ট্যাক্স সহ মূল্য
চূড়ান্ত মূল্য = মূল × (1 + r/100)
উদাহরণ: ৫০০ টাকার জিনিসে ১৫% VAT = ৫০০ × ১.১৫ = ৫৭৫ টাকা।
💡 মনে রাখার Hack
কোনো সংখ্যা x% কম দামে বিক্রি করার পর আবার y% বাড়ালে — original-এ ফিরবে না (যদি না x=y=0)। কারণ percentage ছোট base-এ apply হয়। এটা মনে রাখলে অনেক ভুল এড়ানো যায়।
অধ্যায় ০২
💰 লাভ-ক্ষতি (Profit-Loss)
প্রতি পরীক্ষায় ২-৩টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
🔑 বেসিক সূত্র
যেকোনো লাভ-ক্ষতির অংকে তিনটা variable: ক্রয়মূল্য (CP), বিক্রয়মূল্য (SP), লাভ/ক্ষতি (P/L)। যেকোনো দুটি জানা থাকলে তৃতীয়টা বের করা যায়।
📋 ফর্মুলা সারিণী
📐 সূত্র ১: লাভ% / ক্ষতি%
লাভ% = (লাভ ÷ ক্রয়মূল্য) × ১০০
ক্ষতি% = (ক্ষতি ÷ ক্রয়মূল্য) × ১০০
সতর্কতা: সবসময় ক্রয়মূল্যের ভিত্তিতে — বিক্রয়মূল্যে না।
📐 সূত্র ২: লাভ থাকলে বিক্রয়মূল্য
SP = CP × (1 + লাভ%/100)
SP = (CP × (১০০ + লাভ%)) ÷ ১০০
উদাহরণ: ৪০০ টাকায় কেনা জিনিস ২৫% লাভে বিক্রি = ৪০০ × ১.২৫ = ৫০০ টাকা।
📐 সূত্র ৩: ক্ষতি থাকলে বিক্রয়মূল্য
SP = CP × (1 − ক্ষতি%/100)
SP = (CP × (১০০ − ক্ষতি%)) ÷ ১০০
📐 সূত্র ৪: SP জানা থাকলে CP বের করা
[লাভে] CP = (১০০ × SP) ÷ (১০০ + লাভ%)
[ক্ষতিতে] CP = (১০০ × SP) ÷ (১০০ − ক্ষতি%)
উদাহরণ: ৬৬০ টাকায় বিক্রি করে ২৫% ক্ষতি হলো। CP = (১০০ × ৬৬০) ÷ ৭৫ = ৮৮০ টাকা।
📐 সূত্র ৫: পরপর দুই লেনদেনে লাভ-ক্ষতি
Net % = a + b + (ab ÷ 100)
[ক্ষতি হলে negative দিন]। উদাহরণ: একই জিনিস ২০% লাভে A বিক্রি করল B-কে, B বিক্রি করল ১০% লাভে → মোট = ২০ + ১০ + (২০×১০/১০০) = ৩২% লাভ।
📐 সূত্র ৬: একটি জিনিস ক বার x% লাভে এবং খ বার y% ক্ষতিতে বিক্রি — সব সমান দামে
Loss% (যদি x = y হয়) = (x ÷ 10)²
উদাহরণ: x = y = ২০% → Loss = (২০/১০)² = ৪%
এটা সবচেয়ে confusing প্রশ্ন! "একই দামে দুটো জিনিস বিক্রি করে একটায় ২০% লাভ, অন্যটায় ২০% ক্ষতি — net কত?" উত্তর: ৪% ক্ষতি (লাভ না!)
📐 সূত্র ৭: ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্যের সমান, কিন্তু n টি বেশি/কম দেওয়ায় লাভ/ক্ষতি
লাভ% = (n ÷ (মোট সংখ্যা − n)) × ১০০
উদাহরণ: "১০০টি কলম বিক্রি করে ২০টির বিক্রয়মূল্য লাভ হলো।" → লাভ% = (২০/৮০) × ১০০ = ২৫%।
📐 সূত্র ৮: ছাড় (Discount) সংক্রান্ত
SP = MP × (1 − discount%/100)
[MP = ধার্য মূল্য]
🎯 Worked Example
প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী ৫টি কলম ক্রয়মূল্যে বিক্রয় করে ৪টি কলমের ক্রয়মূল্য লাভ হলো। লাভের শতকরা হার কত?
সমাধান:
মনে করি ১টি কলমের CP = ১ টাকা। ৫টির CP = ৫ টাকা।
শর্ত মতে: ৫টির SP − ৫টির CP = ৪টির CP = ৪
তাই ৫টির SP = ৫ + ৪ = ৯ টাকা।
লাভ% = (৪/৫) × ১০০ = ৮০%
⚠️ Common Trap
"২০% লাভে বিক্রির পর ক্রেতা ২০% কমে কিনলে net কী?" — অনেকে বলে "কোনো লাভ নেই"। ভুল! original দাম ১০০, ২০% বাড়িয়ে ১২০, তারপর ২০% কম মানে ১২০ × ০.৮ = ৯৬। অর্থাৎ ৪% ক্ষতি।
অধ্যায় ০৩
💵 সরল সুদ (Simple Interest)
প্রতি পরীক্ষায় ১-২টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
🔑 মূল সূত্র
I = (P × R × T) ÷ 100
I = সুদ, P = মূলধন, R = বার্ষিক সুদের হার, T = সময় (বছরে)
⚡ ৯টি শর্টকাট
📐 সূত্র ১: সুদ-আসল
সুদ-আসল = P + I = P × (1 + RT/100)
📐 সূত্র ২: সময় বের করা
T = (I × 100) ÷ (P × R)
উদাহরণ: ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার সুদ ১০০ টাকা হবে? T = (১০০ × ১০০) ÷ (৫০০ × ৫) = ৪ বছর।
📐 সূত্র ৩: মূলধন বের করা
P = (I × 100) ÷ (R × T)
📐 সূত্র ৪: সুদের হার বের করা
R = (I × 100) ÷ (P × T)
📐 সূত্র ৫: সুদে-মূলে দ্বিগুণ/তিনগুণ হবার সময়
T = [(n − 1) ÷ R] × 100
[n = কতগুণ হবে: দ্বিগুণ=2, তিনগুণ=3]
উদাহরণ: ১০% হারে দ্বিগুণ হতে কত সময়? = (২−১) × ১০০ / ১০ = ১০ বছর।
📐 সূত্র ৬: সুদের হার বদলালে আয় কত কমে/বাড়ে
P = (পরিবর্তনের পরিমাণ × 100) ÷ [(R₁ − R₂) × T]
উদাহরণ: সুদের হার ৫% থেকে ৪% হওয়ায় বার্ষিক ২৫০ টাকা সুদ কমে গেল। মূলধন? = (২৫০ × ১০০) ÷ ((৫−৪) × ১) = ২৫,০০০ টাকা।
📐 সূত্র ৭: দুটি বিনিয়োগের মিলিত সুদ
যদি P টাকা দু'ভাগে বিনিয়োগ — R₁ এবং R₂ হারে, এবং সমান সুদ পাওয়া যায়, তাহলে
P₁ : P₂ = (R₂ × T₂) : (R₁ × T₁)
📐 সূত্র ৮: সুদ-মূলধন গুণফল হলে মূলধন
P = সুদ-মূলধন × 100 ÷ (R × T + 100)
📐 সূত্র ৯: সুদ সমান হলে সময় সমানুপাত
T₁ : T₂ = (1/R₁) : (1/R₂) = R₂ : R₁
💡 Memory Hack: I=PRT/100
"I" আর "PRT" এর শব্দটা গুণ করেই অংক — উদাহরণ মুখে রাখুন। যেকোনো একটা variable জানা না থাকলে — অন্য তিনটার গুণফল দিয়ে ভাগ করুন, ১০০ দিয়ে গুণ/ভাগ adjust করুন।
অধ্যায় ০৪
📈 চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest)
প্রতি পরীক্ষায় ১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
🔑 মূল সূত্র
A = P (1 + R/100)ⁿ
A = সুদে-মূলে মোট, P = মূলধন, R = বার্ষিক হার, n = বছর
CI = A − P
⚡ Quick Shortcuts
📐 সূত্র ১: ২ বছরের CI দ্রুত
CI₂ = P × R × (200 + R) ÷ 10,000
বা: CI₂ = 2 × SI + (SI² ÷ P)
উদাহরণ: ৫০০০ টাকার ২ বছরের ১০% সুদ (চক্রবৃদ্ধি) = ৫০০০ × ১০ × ২১০ ÷ ১০,০০০ = ১০৫০ টাকা।
📐 সূত্র ২: চক্রবৃদ্ধি ও সরল সুদের পার্থক্য
[২ বছরে] পার্থক্য = P × (R/100)²
[৩ বছরে] পার্থক্য = P × (R/100)² × (3 + R/100)
📐 সূত্র ৩: মূলধন দ্বিগুণ/তিনগুণ হবার সময় (Compound)
Rule of 72: T = 72 ÷ R
(approximate — দ্বিগুণ হবার সময়)
উদাহরণ: ৮% হারে দ্বিগুণ হতে = ৭২/৮ = ৯ বছর (CI-এ)। SI-তে হবে ১২.৫ বছর।
📐 সূত্র ৪: অর্ধবার্ষিক / ত্রৈমাসিক চক্রবৃদ্ধি
A = P (1 + R/(100×k))^(n×k)
[k = বার্ষিক compounding সংখ্যা; অর্ধবার্ষিক k=2, ত্রৈমাসিক k=4]
অধ্যায় ০৫
⚖️ অনুপাত-সমানুপাত (Ratio-Proportion)
প্রতি পরীক্ষায় ১-২টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
🔑 মূল নিয়মাবলি
- অনুপাতের উভয় রাশিকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে মান অপরিবর্তিত: ৫:৩ = ১৫:৯ = ৫০:৩০
- সমানুপাতের ৪টি রাশি — প্রথম × চতুর্থ = দ্বিতীয় × তৃতীয়
- a:b ও c:d সমান হলে a×d = b×c
⚡ শর্টকাট সূত্র
📐 সূত্র ১: অনুপাতে ভাগ
যদি X টাকা a:b অনুপাতে ভাগ হয়
প্রথম অংশ = X × a/(a+b)
দ্বিতীয় অংশ = X × b/(a+b)
উদাহরণ: ১২০০ টাকা ৩:৫ অনুপাতে ভাগ করলে = ১২০০ × ৩/৮ = ৪৫০ এবং ১২০০ × ৫/৮ = ৭৫০।
📐 সূত্র ২: অংকেও ভাগ্য (পরিবর্তিত অনুপাত)
অনুপাত a:b → কে গুণ x দিলে → ax:bx
উদাহরণ: ছাত্র-ছাত্রী ৩:৫, ছাত্রী ৮০ জন। ছাত্র? → 5x = 80, x = 16; ছাত্র = 3×16 = 48।
📐 সূত্র ৩: বিনিময়ী সমানুপাত (Inverse Proportion)
a × b = c × d (পরিবর্তে a/b = c/d)
উদাহরণ: ১২ জন শ্রমিক ১৫ দিনে কাজ শেষ করে। ৯ জন কত দিনে? → ১২ × ১৫ = ৯ × x → x = ২০ দিন।
📐 সূত্র ৪: তিন রাশির সমানুপাত
a:b:c → ভাগ্য মান = মোট × (যার অংশ ÷ মোট অংকগুলোর যোগফল)
উদাহরণ: ৩৬০ টাকা ১:২:৩ অনুপাতে ভাগ = ৬০, ১২০, ১৮০।
অধ্যায় ০৬
📊 গড় (Average)
প্রতি পরীক্ষায় ১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
📐 মূল সূত্র
গড় = মানের যোগফল ÷ মানের সংখ্যা
📐 শর্টকাট: একটি মান বদলে গেলে নতুন গড়
নতুন গড় = পুরাতন গড় + (পরিবর্তন ÷ মানের সংখ্যা)
উদাহরণ: ৫ জনের গড় বয়স ২০। ১ জন চলে গিয়ে নতুন এসেছেন ৫ বছর বেশি বয়সী। নতুন গড় = ২০ + (৫/৫) = ২১।
📐 শর্টকাট: নতুন সদস্য যোগ হলে নতুন গড়
নতুন গড় = (পুরাতন যোগফল + নতুন মান) ÷ (n+1)
📐 দুটি গ্রুপের সম্মিলিত গড়
সম্মিলিত গড় = (n₁×A₁ + n₂×A₂) ÷ (n₁ + n₂)
উদাহরণ: ২০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৫, ৩০ জনের ৬৫। সব ৫০ জনের গড়? = (২০×৭৫ + ৩০×৬৫)/৫০ = (১৫০০+১৯৫০)/৫০ = ৬৯।
অধ্যায় ০৭
⏱️ কাজ-সময় (Time & Work)
প্রতি পরীক্ষায় ১-২টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
🔑 মূল ধারণা
যদি কেউ ১ দিনে কাজের ১/n অংশ করতে পারে, সে n দিনে পুরো কাজ শেষ করবে।
📐 সূত্র ১: একসাথে কাজ
যদি A একা x দিনে, B একা y দিনে কাজ শেষ করে
একসাথে শেষ হবে = (x × y) ÷ (x + y) দিনে
উদাহরণ: A কাজটি ১২ দিনে, B কাজটি ১৮ দিনে শেষ করে। একসাথে? = (১২×১৮)/(১২+১৮) = ২১৬/৩০ = ৭.২ দিন।
📐 সূত্র ২: তিনজনের ক্ষেত্রে
একসাথে = (x × y × z) ÷ (xy + yz + zx) দিনে
📐 সূত্র ৩: কাজ-দিন-লোকের অনুপাত
M₁ × D₁ × H₁ ÷ W₁ = M₂ × D₂ × H₂ ÷ W₂
[M = মানুষ, D = দিন, H = ঘণ্টা, W = কাজ]
উদাহরণ: ১৫ জন শ্রমিক ৮ দিনে ৪৮০ মিটার রাস্তা তৈরি করে। ২০ জন কত দিনে ৬০০ মিটার করবে? → ১৫×৮/৪৮০ = ২০×D/৬০০ → D = ৭.৫ দিন।
📐 সূত্র ৪: কাজের দক্ষতার অনুপাত
যদি A : B = ২ : ৩ দক্ষতায়, তাহলে A : B = ৩ : ২ সময়ে
(দক্ষতা ও সময় বিপরীত অনুপাত)
📐 সূত্র ৫: কাজের সাথে চলে গেলে
A কে x দিন, B মিলে y দিন → মোট সময় বের করা:
(A কেবল x দিন কাজ করে, তারপর B যোগ দিলে কত দিনে শেষ?)
💡 Memory Hack
কাজ-সময়ের সব অংক LCM technique দিয়ে দ্রুত সমাধান হয়। কাজের পরিমাণকে A আর B-এর সময়ের LCM ধরুন — অংক সহজ হয়ে যাবে।
অধ্যায় ০৮
🚗 সময়-দূরত্ব-গতি (Time-Distance-Speed)
প্রতি পরীক্ষায় ১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
Distance = Speed × Time
D = S × T, T = D ÷ S, S = D ÷ T
📐 সূত্র ১: একক রূপান্তর
km/hr → m/s: × (5/18)
m/s → km/hr: × (18/5)
উদাহরণ: ৭২ km/hr = ৭২ × ৫/১৮ = ২০ m/s।
📐 সূত্র ২: গড় গতি (Average Speed)
যদি একই দূরত্ব দুটি ভিন্ন গতিতে যাওয়া-আসা হয়:
গড় গতি = (2 × S₁ × S₂) ÷ (S₁ + S₂)
সতর্কতা: দুটি গতির সাধারণ গড় (S₁ + S₂)/2 কখনোই না। উদাহরণ: ৩০ ও ৬০ → গড় = ২×৩০×৬০/৯০ = ৪০ km/hr।
📐 সূত্র ৩: ভিন্ন গতিতে একই দূরত্ব
যদি S₁ গতিতে t₁ সময়ে এবং S₂ গতিতে t₂ সময়ে দূরত্ব অতিক্রম, এবং পার্থক্য Δt:
D = (S₁ × S₂ × Δt) ÷ (S₂ − S₁)
অধ্যায় ০৯
🚣 নৌকা-স্রোত (Boat-Stream)
প্রতি পরীক্ষায় ১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
📐 সূত্র ১: কার্যকর গতি
স্রোতের অনুকূলে (downstream): B + S
স্রোতের প্রতিকূলে (upstream): B − S
[B = নৌকার গতি, S = স্রোতের গতি]
📐 সূত্র ২: B এবং S বের করা
B = (downstream + upstream) ÷ 2
S = (downstream − upstream) ÷ 2
উদাহরণ: Downstream ১২ km/hr, upstream ৮ km/hr। নৌকার গতি = (১২+৮)/২ = ১০, স্রোত = (১২−৮)/২ = ২ km/hr।
📐 সূত্র ৩: যাওয়া-আসায় গড় গতি
গড় = [2 × (B+S) × (B−S)] ÷ [2B] = (B² − S²) ÷ B
অধ্যায় ১০
🚂 ট্রেন সংক্রান্ত (Train Problems)
প্রতি পরীক্ষায় ০-১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
📐 সূত্র ১: ট্রেন একটি বিন্দু অতিক্রম
সময় = ট্রেনের দৈর্ঘ্য ÷ ট্রেনের গতি
উদাহরণ: ২৪০ মি লম্বা ট্রেন, ৭২ km/hr (= ২০ m/s) → একটি বৈদ্যুতিক খুঁটি অতিক্রম = ২৪০/২০ = ১২ সেকেন্ড।
📐 সূত্র ২: ট্রেন একটি প্লাটফর্ম/সেতু অতিক্রম
সময় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য) ÷ ট্রেনের গতি
📐 সূত্র ৩: দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে
আপেক্ষিক গতি = S₁ + S₂
একে অপরকে অতিক্রম সময় = (L₁ + L₂) ÷ (S₁ + S₂)
📐 সূত্র ৪: দুটি ট্রেন একই দিকে
আপেক্ষিক গতি = S₁ − S₂
(যেটা দ্রুতগামী, সেটার গতি থেকে অন্যটার গতি বিয়োগ)
সময় = (L₁ + L₂) ÷ (S₁ − S₂)
অধ্যায় ১১
👥 বয়স সংক্রান্ত (Age Problems)
প্রতি পরীক্ষায় ১টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
🔑 বয়স অংকের সাধারণ Pattern
- "বর্তমান বয়সের অনুপাত" → x ধরে দুটোর equation
- "x বছর পরে/আগে" → বর্তমানে x যোগ/বিয়োগ করে আবার অনুপাত
- "সমষ্টি/পার্থক্য জানা" → algebraic equation
📐 শর্টকাট: অনুপাত-ভিত্তিক
পিতার বর্তমান বয়স a, পুত্রের b। x বছর পরে অনুপাত হবে m:n
সমীকরণ: (a+x) / (b+x) = m/n
উদাহরণ: পিতা ৫০, পুত্র ১০। কত বছর পরে অনুপাত ৩:১ হবে? → (৫০+x)/(১০+x) = ৩/১ → ৫০+x = ৩(১০+x) → ৫০+x = ৩০+৩x → ২০ = ২x → x = ১০ বছর।
📐 শর্টকাট: পার্থক্য অপরিবর্তিত
দু'জনের বয়সের পার্থক্য সব সময়ই একই থাকে। এই principle দিয়ে অনেক অংক দ্রুত solve হয়।
অধ্যায় ১২
🔢 লসাগু-গসাগু (LCM-HCF)
প্রতি পরীক্ষায় ১-২টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
📐 সূত্র ১: লসাগু × গসাগু = সংখ্যা দুটির গুণফল
LCM(a,b) × HCF(a,b) = a × b
উদাহরণ: দুটি সংখ্যার গুণফল ৬০, HCF ৬। LCM? = ৬০/৬ = ১০।
📐 সূত্র ২: ভগ্নাংশের LCM ও HCF
LCM of fractions = LCM(numerators) / HCF(denominators)
HCF of fractions = HCF(numerators) / LCM(denominators)
📐 সূত্র ৩: সর্বনিম্ন সংখ্যা যা ভাগ করলে সর্বদা x ভাগশেষ থাকে
= LCM(a, b, c) + x
উদাহরণ: ৪, ৬, ৮ দ্বারা ভাগ করলে ৩ ভাগশেষ থাকে এমন সর্বনিম্ন সংখ্যা? = LCM(৪,৬,৮) + ৩ = ২৪ + ৩ = ২৭।
অধ্যায় ১৩
🔠 বীজগণিত (Algebra)
প্রতি পরীক্ষায় ২-৩টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
📋 অবশ্যই মুখস্থ সূত্রসমূহ
প্রথম শ্রেণি
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a+b)(a-b)
ঘন সূত্র
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
তিনপদ ফর্মুলা
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
বিপরীত মান
(a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2
(a - 1/a)² = a² + 1/a² - 2
a² + 1/a² = (a+1/a)² - 2
⚡ শর্টকাট
📐 Option Substitution
দ্বিঘাত সমীকরণ solve না করে — options-গুলো বসিয়ে দেখুন কোনটা match করে। ২০-৩০ সেকেন্ডে answer।
📐 সরল সমীকরণ: x বের করা
যদি ax + b = c, তাহলে x = (c - b) ÷ a
📐 দ্বিঘাত সমীকরণ: x² + ax + b = 0
দুটি মূলের যোগফল = -a
দুটি মূলের গুণফল = b
অধ্যায় ১৪
📐 জ্যামিতি (Geometry)
প্রতি পরীক্ষায় ২-৩টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐⭐
📋 ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা সূত্র
| আকৃতি | ক্ষেত্রফল | পরিসীমা |
|---|---|---|
| বর্গ | a² | 4a |
| আয়তক্ষেত্র | l × b | 2(l + b) |
| ত্রিভুজ (সাধারণ) | ½ × base × height | a + b + c |
| সমবাহু ত্রিভুজ | (√3/4) × a² | 3a |
| বৃত্ত | π × r² | 2πr |
| রম্বস | ½ × d₁ × d₂ | 4a |
| সমকোণী ত্রিভুজ | ½ × base × height | a+b+√(a²+b²) |
📋 আয়তন ও পৃষ্ঠতল
| আকৃতি | আয়তন |
|---|---|
| ঘনক (Cube) | a³ |
| আয়তঘনক | l × b × h |
| সিলিন্ডার | π × r² × h |
| গোলক (Sphere) | (4/3) × π × r³ |
| শঙ্কু (Cone) | (1/3) × π × r² × h |
📐 ত্রিভুজের গুরুত্বপূর্ণ প্রপার্টি
- তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
- দুই বাহুর যোগফল > তৃতীয় বাহু
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুই কোণ সমান
- সমকোণী ত্রিভুজে (পিথাগোরাস): a² + b² = c² (অতিভুজ²)
অধ্যায় ১৫
🔢 সংখ্যা পদ্ধতি (Number System)
প্রতি পরীক্ষায় ১-২টি প্রশ্ন | difficulty: ⭐⭐
📋 দ্রুত গুণ-ভাগ Tricks
১১ দিয়ে গুণ: ৩৫ × ১১ = ৩(৩+৫)৫ = ৩৮৫
৫ দিয়ে গুণ: ÷ ২ → × ১০। যেমন ৪৬ × ৫ = ২৩০
৯ দিয়ে গুণ: ×১০ - ১বার। ৭ × ৯ = ৭০ - ৭ = ৬৩
২৫ দিয়ে গুণ: ÷ ৪ → × ১০০। ৪৮ × ২৫ = ১২০০
৫ দিয়ে ভাগ: × ২ → ÷ ১০। ৭৫০/৫ = ১৫০
বর্গ (Square) trick: ৩৫² = ৩×(৩+১) | ৫² = ১২২৫
📋 বিভাজ্যতার নিয়ম
| কত দিয়ে | নিয়ম |
|---|---|
| 2 | শেষ অংক জোড় (0,2,4,6,8) |
| 3 | অংকগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য |
| 4 | শেষ ২ অংক ৪ দিয়ে বিভাজ্য |
| 5 | শেষ অংক ০ বা ৫ |
| 6 | ২ ও ৩ — দু'টোর নিয়ম মানতে হবে |
| 8 | শেষ ৩ অংক ৮ দিয়ে বিভাজ্য |
| 9 | অংকগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য |
| 11 | odd ও even position-এর অংকের যোগফলের পার্থক্য ০ বা ১১ গুণিতক |
🎯 বোনাস সেকশন
পরীক্ষায় শর্টকাট ব্যবহারের কৌশল
🎯 কখন শর্টকাট ব্যবহার করবেন?
- প্রথমে চেষ্টা করুন বুঝে solve করতে — শর্টকাট ভুলে গেলেও basic দিয়ে পারবেন
- সময় কম হলে — direct formula apply
- options দেখে substitute method ব্যবহার (algebra-তে)
- complex calculation → approximation দিয়ে options-এর কাছাকাছি যান
📚 অনুশীলনের রোডম্যাপ
- সপ্তাহ ১: অধ্যায় ১-৫ (শতকরা, লাভ-ক্ষতি, সুদ, অনুপাত, গড়)
- সপ্তাহ ২: অধ্যায় ৬-১০ (কাজ-সময়, গতি, নৌকা, ট্রেন, বয়স)
- সপ্তাহ ৩: অধ্যায় ১১-১৫ (LCM-HCF, বীজগণিত, জ্যামিতি, সংখ্যা)
- সপ্তাহ ৪: Mixed mock test (১৫ MCQ ২২ মিনিটে)
📚 সুপারিশকৃত বই
- খাইরুল বসিক ম্যাথ (Bengali)
- Oracle গণিত (BCS)
- S Aggarwal — Quantitative Aptitude
- R.S Aggarwal — Math Tricks
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
❓ এত সূত্র মুখস্থ করে রাখা সম্ভব?
হ্যাঁ, সম্ভব — যদি ৪-৬ সপ্তাহ ধরে নিয়মিত অনুশীলন করেন। মুখস্থ না — বরং বুঝে রাখুন। একবার বুঝে গেলে ভুলবেন না।
❓ শর্টকাট দিয়ে সব অংক করা যাবে?
চাকরির পরীক্ষার ৮০-৯০% অংক হ্যাঁ। কিন্তু কিছু কঠিন প্রশ্ন (যেমন advanced algebra বা trigonometry) — সেগুলোতে basic understanding লাগবে।
❓ Option substitution কি সবসময় কাজ করে?
Multiple choice হলে — হ্যাঁ। কিন্তু options-গুলো আগে scan করুন; কাছাকাছি মান হলে substitute, না হলে calculate।
❓ আমি গণিতে দুর্বল, কোথা থেকে শুরু করব?
NCTB ক্লাস ৮-৯-১০ এর গণিত বই থেকে। ভিত্তি তৈরি হলে তারপর এই গাইড। সরাসরি shortcut-এ চলে গেলে concept clear হবে না।
❓ পরীক্ষায় rough work-এর জন্য সময় কোথায় পাব?
OMR sheet-এর পেছনে rough space থাকে। এছাড়া প্রশ্নপত্রের margin-এ লিখতে পারেন। দ্রুত mental calculation শিখলে rough work প্রয়োজনই হবে না।
❓ অনলাইনে এই formulas-এর mock test পাব?
অরিয়লের গণিত মডেল টেস্ট-এ অধ্যায়ভিত্তিক ও mixed টেস্ট পাবেন — প্রতিটিতে detailed solution + shortcut indicate করা।
🎯 এই Shortcut গুলো অনুশীলন করুন অরিয়লে
অরিয়লের গণিত কোর্সে প্রতিটি অধ্যায়ের video lecture, worked examples এবং ৩০০০+ MCQ অনুশীলনের সুযোগ। প্রতিটি ভুল answer-এর জন্য shortcut indicate করা। ১০ মিনিটে রেজিস্টার করে শুরু করুন।
গণিত কোর্স → ফ্রি মডেল টেস্ট
